Question

3．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）证明：f（x）在区间[1，+∞]上是增函数；
（4）求函数f（x）在区间[2，3]上的值域．

Answer 1

分析 （1）使函数f（x）有意义，显然x≠0，从而便可得出该函数的定义域；
（2）根据奇偶性的定义，容易求出f（-x）=-f（x），从而判断出该函数为奇函数；
（3）根据增函数的定义，设任意的x₁＞x₂≥1，然后作差，提取公因式即可证明f（x₁）＞f（x₂），这便可得出该函数为增函数；
（4）根据（3）证出的函数f（x）的单调性，便可知f（x）在[2，3]上单调递增，从而便得出该函数在[2，3]上的值域为[f（2），f（3）]．

解答 解：（1）定义域为：{x|x≠0}；
（2）f（-x）=$-x-\frac{1}{x}=-f（x）$；
∴该函数为奇函数；
（3）证明：设x₁＞x₂≥1，则：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂≥1；
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞1；
∴$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（4）由上面知，f（x）在[2，3]上单调递增；
∴f（x）的值域为[f（2），f（3）]=[$\frac{5}{2}，\frac{10}{3}$]．

点评 考查函数定义域、值域的概念，以及奇函数、增函数的定义及判断方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），作差之后一般需提取公因式x₁-x₂，以及根据单调性定义求函数在闭区间上的值域．