Question

13．已知角α的顶点在原点，角α的始边与x轴正半轴重合，点M（-1，2）是α的终边上的一点，若β是第二象限角，且sinβ=$\frac{3}{5}$，求sin（α+β），tan（2α+β）的值．

Answer 1

分析 利用任意角的三角函数的定义求得α的三角函数值，利用同角三角函数的基本关系求得β的余弦值和正切值，利用两角和的正弦公式求得sin（α+β），利用二倍角公式求得tan2α的值、再利用两角和的正切公式求得 tan（2α+β）的值．

解答 解：根据点M（-1，2）是α的终边上的一点，可得sinα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{-1}{\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
根据β是第二象限角，且sinβ=$\frac{3}{5}$，可得cosβ=-$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=-$\frac{4}{5}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}×（-\frac{4}{5}）$+（-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）×$\frac{3}{5}$=$\frac{11\sqrt{5}}{25}$．
由tanα=$\frac{2}{-1}$=-2，可得tan2α=$\frac{2tanα}{{1-tan}^{2}α}$=$\frac{-4}{1-4}$=$\frac{4}{3}$，又tanβ=$\frac{sinβ}{cosβ}$=-$\frac{3}{4}$，
∴tan（2α+β）=$\frac{tan2α+tanβ}{1-tan2αtanβ}$=$\frac{\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}{1-\frac{4}{3}×（-\frac{4}{3}）}$=$\frac{7}{24}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和的正切公式的应用，属于中档题．