Question

8．如图所示，在确定的四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD．
（1）若AB⊥CD，则截面EFGH与侧面ABC垂直；
（2）当截面四边形EFGH面积取得最大值时，E为AD中点；
（3）截面四边形EFGH的周长有最小值；
（4）若AB⊥CD，AC⊥BD，则在四面体内存在一点P到四面体ABCD六条棱的中点的距
离相等．上述说法正确的是（2）（4）．

Answer 1

分析 对四个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：（1）若AB⊥CD，则FG⊥EH，截面EFGH与侧面ABC不一定垂直；
（2）∵AB∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=GF，∴AB∥GF．同理证EH∥AB，∴GF∥EH，同理证EF∥GH．故四边形EFGH平行四边形．设AF：AC=n，则FC：AC=1-n，又设AB与CD所成角θ，则有∠FGH=θ（或π-θ）．∴S_EFGH=GF•GH•sin∠FGH=（1-n）AB•nCDsin∠FGH=n（1-n）AB•CDsin∠FGH 而AB•CDsin∠FGH定值，故n（1-n）取最大值时S_EFGH最大，当且仅当n=1-n，即n=$\frac{1}{2}$时取得大值．故当E、F、G、H分别各边点时四边形EFGH面积最大．故正确；
（3）由（2）知，$\frac{FG}{AB}=\frac{CF}{AC}$，$\frac{EF}{CD}=\frac{AF}{AC}$，∴$\frac{FG}{AB}+\frac{EF}{CD}=1$，∴AB=CD时，周长为2（FG+EF）=2AB为定值，故不正确；
（4）若AB⊥CD，AC⊥BD，则EFGH为矩形，∴在四面体内存在一点P即矩形对角线的交点到四面体ABCD六条棱的中点的距离相等．正确．
故答案为：（2）（4）．

点评 本题考查四面体，考查面积、周长的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．