Question

13．设椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过M（2，2e），$N（2e，\sqrt{3}）$两点，其中e为椭圆的离心率，O为坐标原点．
（I）求椭圆E的方程；
（II）过椭圆右焦点F的一条直线l与椭圆交于A，B两点，若$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{AB}}$|，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件列出方程组求出a，b，即可求出椭圆的方程．
（2）通过$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{AB}}|$，得到$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，若直线l斜率不存在时，判断是否满足题意；若直线l斜率存在时不妨设直线l方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理求出弦长即可．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a^2}+\frac{{4{c^2}}}{{{a^2}{b^2}}}=1\\ \frac{{4{c^2}}}{a^4}+\frac{3}{b^2}=1\end{array}\right.⇒$$\left\{\begin{array}{l}{b^2}=4\\ \frac{{4（{a^2}-{b^2}）}}{a^4}+\frac{3}{b^2}=1\end{array}\right.⇒$$\left\{\begin{array}{l}{b^2}=4\\{a^2}=8\end{array}\right.⇒$$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$；…（6分）
（2）因为$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{AB}}|$，得$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，…（7分）
若直线l斜率不存在时，直线l方程为x=2，
此时A（2，$\sqrt{2}$），B（2，$-\sqrt{2}$）不满足$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，…（8分）
若直线l斜率存在时，不妨设直线l方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.⇒（2{k^2}+1）{x^2}-8{k^2}x+8{k^2}-8=0$$⇒\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{2{k^2}+1}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{8{k^2}-8}}{{2{k^2}+1}}\end{array}\right.$
又∵$\left\{\begin{array}{l}{y_1}=k（{x_1}-2）\\{y_2}=k（{x_2}-2）\end{array}\right.⇒{y_1}{y_2}={k^2}[{x_1}{x_2}-2（{x_1}+{x_2}）+4]=\frac{{-4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0⇒{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=0$，∴$\frac{{4{k^2}-8}}{{2{k^2}+1}}=0∴{k^2}=2$，…（11分）
$|{\overrightarrow{AB}}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{{12\sqrt{2}}}{5}$…（13分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．