Question

20．为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取60人，从文科乙班抽取50人参加环保知识测试．
（Ⅰ）根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关．

	优秀人数	非优秀人数	总计
甲班
乙班		30
总计	60

（Ⅱ）现已知A，B，C三人获得优秀的概率分别为$\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{3}$，设随机变量X表示A，B，C三人中获得优秀的人数，求X的分布列及期望E（X）．
附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d

P（K2＞k0）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题设条件作出列联表，根据列联表中的数据，得到${K^2}=\frac{{110{{（40×30-20×20）}^2}}}{（40+20）（20+30）（40+20）（20+30）}≈7.8＞6.635$．由此得到有99%的把握认为环保知识测试与专业有关．
（2）由题设知X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）2×2列联表如下

	优秀	非优秀	总计
甲班	40	20	60
乙班	20	30	50
总计	60	50	110

由${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$算得，${K^2}=\frac{{110{{（40×30-20×20）}^2}}}{（40+20）（20+30）（40+20）（20+30）}≈7.8＞6.635$，
所以有99%的把握认为学生的环保知识成绩与文理分科有关…5分
（Ⅱ）设A，B，C成绩优秀分别记为事件M，N，R，则$P（M）=\frac{1}{2}，P（N）=P（R）=\frac{1}{3}$
∴随机变量X的取值为0，1，2，3…6分
$P（x=0）=P（\overline M\overline N\overline R）=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$，$P（x=1）=P（M\overline N\overline R+\overline MN\overline R+\overline M\overline NR）=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$$P（x=2）=P（MN\overline R+\overline MNR+M\overline NR）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{5}{18}$$P（x=3）=P（MNR）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{18}$…10分
所以随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{18}$

E（X）=0×$\frac{2}{9}$+1×$\frac{4}{9}$+2×$\frac{5}{18}$+3×$\frac{1}{18}$=$\frac{7}{6}$ …12分．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合知识的合理运用．