Question

17．已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b∈Z），且满足{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，则|a|的最大值为（　　）

• A． 1
• B． 3
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 先证明b=0，再由集合相等和正弦函数的值域可得|$\frac{kπ}{a}$|＞1，解不等式结合a为整数可得．

解答 解：记A={x|f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，
显然集合A≠∅，设 x₀∈A，则f（x₀）=0，
∵A=B，∴x₀∈B，即 f（f（x₀））=0，
∴f（0）=0，∴b=0，∴f（x）=asinx，a∈Z．
①当a=0时，显然满足A=B；
②当a≠0时，A={x|asinx=0}；B={x|asin（asinx）=0}，
即B={x|asinx=kπ，k∈Z}，∵A=B，
∴对于任意x∈R，必有asinx≠kπ（k∈Z，且k≠0）成立，
即对于任意x∈R，sinx≠$\frac{kπ}{a}$，∴|$\frac{kπ}{a}$|＞1，
即|a|＜|k|•π，其中k∈Z，且k≠0．
∴|a|＜π，∴整数a的最大值是3
故选：B

点评 本题考查三角函数求值，涉及集合相等和分类讨论的思想，属中档题．