题目内容

13.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是减函数,若$f({ln\frac{n}{m}})-f(1)>0$,则$\frac{{{m^2}+{n^2}}}{mn}$的取值范围是(  )
A.[2,+∞)B.[2,e)C.$({e+\frac{1}{e},+∞})$D.$[{2,e+\frac{1}{e}})$

分析 根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化,结合基本不等式的性质进行求解即可.

解答 解:∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是减函数,
∴若$f({ln\frac{n}{m}})-f(1)>0$,
则f(ln$\frac{n}{m}$)>f(1),
即f(|ln$\frac{n}{m}$|)>f(1),
即|ln$\frac{n}{m}$|<1,
即-1<ln$\frac{n}{m}$<1,
即$\frac{1}{e}$<$\frac{n}{m}$<e,
则$\frac{{{m^2}+{n^2}}}{mn}$=$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$,
设t=$\frac{n}{m}$,则$\frac{1}{e}$<t<e,
则$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$=t+$\frac{1}{t}$,
则函数g(t)=t+$\frac{1}{t}$,在($\frac{1}{e}$,1]上递减,在[1,e)上递增,
则函数的最小值为g(1)=1+$\frac{1}{1}$=2,
g(e)=e+$\frac{1}{e}$,g($\frac{1}{e}$)=$\frac{1}{e}$+e,
故2≤g(t)<$\frac{1}{e}$+e,
即$\frac{{{m^2}+{n^2}}}{mn}$的取值范围是[2,$\frac{1}{e}$+e),
故选:D.

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,以及基本不等式的应用,综合考查函数的性质.

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