Question

3．已知函数f（x）=e^x（sinx+a）在R上单调递增，则实数a的取值范围是$a≥\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求函数的导数，要使函数单调递增，则f′（x）≥0立，然后求出实数a的取值范围．

解答 解：因为f（x）=e^x（sinx+a），所以f′（x）=e^x（sinx+a+cosx）．
要使函数单调递增，则f′（x）≥0成立．
即sinx+a+cosx≥0恒成立．
所以a≥-sinx-cosx，
因为-sinx-cosx=-$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）
所以-$\sqrt{2}$≤-sinx-cosx≤$\sqrt{2}$，
所以$a≥\sqrt{2}$，
故答案为：$a≥\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查导数的基本运算以及利用导数研究函数的单调性，注意当函数单调递增时，f'（x）≥0恒成立．