题目内容

【题目】设函数f(x)=mlnx(m∈R),g(x)=cosx.
(1)若函数 在(1,+∞)上单调递增,求m的取值范围;
(2)设函数φ(x)=f(x)+g(x),若对任意的 ,都有φ(x)≥0,求m的取值范围;
(3)设m>0,点P(x0 , y0)是函数f(x)与g(x)的一个交点,且函数f(x)与g(x)在点P处的切线互相垂直,求证:存在唯一的x0满足题意,且

【答案】
(1)解:由题意,知 ,所以

由题意, ,即 对x∈(1,+∞)恒成立.

又当x∈(1,+∞)时, ,所以m≥1


(2)解:因为φ(x)=f(x)+g(x)=mlnx+cosx,所以

①当m≤0时,因为 ,所以lnx>0,cosx<0,故φ(x)<0,不合题意.

②当m>0时,因为 ,所以φ'(x)>0,故φ(x)在 上单调递增.

欲φ(x)≥0对任意的 都成立,则需φ(π)≥0,所以mlnπ+cosπ≥0,解得

综上所述,m的取值范围是


(3)解:证明:因为 ,g'(x)=﹣sinx,且函数f(x)与g(x)在点P(x0,y0)处的切线互相垂直,

所以 ,即msinx0=x0(*).

又点P(x0,y0)是函数f(x)与g(x)的一个交点,所以mlnx0=cosx0(**).

由(*)(**)消去m,得x0lnx0﹣sinx0cosx0=0.

①当x0∈(0,1]时,因为m>0,所以mlnx0≤0,且cosx0>0,此与(**)式矛盾.

所以在(0,1]上没有x0适合题意

②当x0∈(1,+∞)时,设r(x)=xlnx﹣sinxcosx,x∈(1,+∞).

则r'(x)=lnx+1﹣cos2x>0,即函数r(x)在(1,+∞)上单调递增,

所以函数r(x)在(1,+∞)上至多有一个零点.

因为r(1)=ln1﹣sin1cos1=﹣sin1cos1<0,

且r(x)的图象在(1,+∞)上不间断,所以函数r(x)在 有唯一零点.

即只有唯一的x0∈(1,+∞),使得x0lnx0﹣sinx0cosx0=0成立,且

综上所述,存在唯一的x0∈(0,+∞),且


【解析】(1)根据求导研究函数的单调性令 h ' ( x ) ≥ 0,即得m的取值范围 。(2)利用求导函数讨论导函数正负进而得到函数的单调性。(3)利用求导函数以及函数f(x)与g(x)在点P处的切线互相垂直,得到msinx0=x0;又点P(x0,y0)是函数f(x)与g(x)的一个交点,得到mlnx0=cosx0,进而得到x0lnx0﹣sinx0cosx0=0.对x0分情况讨论,当x0∈(0,1]时,在(0,1]上没有x0适合题意。当x0∈(1,+∞)时函数r(x)在(1,+∞)上至多有一个零点,再根据零点定理可得,函数r(x)有唯一零点,即得结果。
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.

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