Question

7．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC为球O的直径，且SC⊥OA，SC⊥OB，△OAB为等边三角形，三棱锥S-ABC的体积为$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，则球O的表面积是16π．

Answer 1

分析 根据题意作出图形．三棱锥S-ABC的体积可看成是两个三棱锥S-ABO和C-ABO的体积和，求出球的半径，即可求出球O的表面积．

解答 解：根据题意作出图形．设球心为O，球的半径为r．
∵SC⊥OA，SC⊥OB，∴SC⊥平面AOB．
三棱锥S-ABC的体积可看成是两个三棱锥S-ABO和C-ABO的体积和．
∴V_{三棱锥S-ABC}=V_{三棱锥S-ABO}+V_{三棱锥C-ABO}
=$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{r^2}×r×2=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，\;∴r=2$．
∴球的表面积是S=16π．
故答案为：16π．

点评 本题考查球O的表面积，考查三棱锥S-ABC的体积，确定球的半径是关键．