Question

10．f（x）是R上的奇函数，a∈[-π，π]，当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+cosa|+|x+2cosa|+3cosa），若对任意x∈R，f（x-3）≤f（x）恒成立，则实数a的取值范围[-π，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{π}{2}$，π]．

Answer 1

分析 当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+cosα|+|x+2cosα|+3cosα）（-π≤α≤π），分类讨论．由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，?x∈R，f（x-3）≤f（x），可得6cosα≤3，解出即可．

解答 解：∵当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+cosα|+|x+2cosα|+3cosα）（-π≤α≤π），
∴当0＜x≤-cosα时，f（x）=$\frac{1}{2}$（-x-cosα-x-2cosα+3cosα）=-x；
当-cosα＜x≤-2cosα时，f（x）=$\frac{1}{2}$（x+cosα-x-2cosα+3cosα）=cosα；
当x＞-2cosα时，f（x）=$\frac{1}{2}$（x+cosα+x+2cosα+3cosα）=x+3cosα．
由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，?x∈R，f（x-3）≤f（x），
∴6cosα≤3，
∴cosα≤$\frac{1}{2}$，
解得α∈[-π，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{π}{2}$，π]．
故答案为：[-π，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{π}{2}$，π]

点评 本题考查了函数奇偶性、周期性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．