题目内容
【题目】已知点E在椭圆上,以E为圆心的圆与x轴相切于椭圆C的右焦点
,与y轴相交于A,B两点,且
是边长为2的正三角形.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知圆,设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M、N两点,试判断以
为直径的圆是否过定点?若过定点,求出该定点坐标,并直接写出
的值;若不过定点,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)以
为直径的圆过原点,坐标为
,且
为定值
【解析】
(Ⅰ)根据圆的切线性质可以知道,这样可以求出点E的坐标,利用等边三角形的性质,可以求出
、
的值,再根据
,最后求出
的值,也就求出椭圆C的方程;
(Ⅱ)当过点P且与圆O相切的切线的斜率不存在时,设出直线方程,求出M、N两点的坐标,判断是否成立,可以判断以
为直径的圆是否过定点,也就能求出
的值;
当过点P且与圆O相切的切线的斜率存在时,设出直线的截距式方程,设出M、N两点的坐标,根据直线和圆相切,利用圆心到直线的距离等于半径,可得到一个等式,
联立直线方程和椭圆方程
,消去
,得到一个关于
的一元二次方程,利用根与系数关系,计算
的值,最后可以求出
的值.
解:(Ⅰ)由题意可得轴,则
,
因为是边长为2的正三角形,
所以
,且
,
解得,
,
所以椭圆方程为.
(Ⅱ)当过点P且与圆O相切的切线的斜率不存在时,
可设切线方程为,可得
,
,
则,所以
,
此时以为直径的圆过原点,
为定值;
当过点P且与圆O相切的切线的斜率存在时,可设切线方程为,
,
,
由直线和圆相切可得,即
,
联立直线方程和椭圆方程
,
可得,
即有,
,
,
,
可得,
此时.
综上可得以为直径的圆过原点,且
为定值
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】禽流感一直在威胁我们的生活,某疾病控制中心为了研究禽流感病毒繁殖个数(个)随时间
(天)变化的规律,收集数据如下:
天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
繁殖个数 | 6 | 12 | 25 | 49 | 95 | 190 |
作出散点图可看出样本点分布在一条指数型函数的周围.
保留小数点后两位数的参考数据:
,
,
,
,
,
,
,
,其中
(1)求出关于
的回归方程(保留小数点后两位数字);
(2)已知,估算第四天的残差.
参考公式: