题目内容
(1)原点O及直线为曲线C的焦点和相应的准线;
(2)被直线垂直平分的直线截曲线C所得的弦长恰好为。
若存在,求出曲线C的方程,若不存在,说明理由。
解:设存在符合题设的圆锥曲线C,此曲线离心率为(>0),P(x,y)是曲线C上任一点。
由圆锥曲线的定义有
化简整理得, ①
设曲线C被直线垂直平分,其弦长为的弦所在直线方程为,这弦的两个端点
将代入①式中,消去y得
②
由题意0,
由此可解得AB的中点D的坐标为
由条件(2),中点D在,于是有:
解③,代入④得。
经检验符合题意,因此符合条件的曲线C存在,其方程为。
由圆锥曲线的定义有
化简整理得, ①
设曲线C被直线垂直平分,其弦长为的弦所在直线方程为,这弦的两个端点
将代入①式中,消去y得
②
由题意0,
由此可解得AB的中点D的坐标为
由条件(2),中点D在,于是有:
解③,代入④得。
经检验符合题意,因此符合条件的曲线C存在,其方程为。
这是一道开放性的题目,探求满足上述两个条件的圆锥曲线是否存在,本题的难点是题目没有具体的给出圆锥曲线的形状,由条件(1)给出焦点和相应的准线,因此可考虑用圆锥曲线统一定义,设离心率为,通过计算,推理,探求的存在性。
练习册系列答案
相关题目