Question

（本小题满分13分）    
点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.
（I）证明: 点是椭圆与直线的唯一交点；        
（II）证明:构成等比数列.

Answer 1

如下

证明（I）（方法一）由得代入椭圆,
得.
将代入上式,得从而
因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.         
(方法二)显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得
即故P与Q重合。
（方法三）在第一象限内，由可得
椭圆在点P处的切线斜率
切线方程为即。
因此，就是椭圆在点P处的切线。    
根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。
（II）的斜率为的斜率为
由此得构成等比数列。