题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
且椭圆上存在一点
,满足
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知分别是椭圆
的左、右顶点,过
的直线交椭圆
于
两点,记直线
的交点为
,是否存在一条定直线
,使点
恒在直线
上?
【答案】(1)(2)存在,点
在定直线
上
【解析】
(1)对三角形应用余弦定理即可求得
,结合椭圆定义求得
,问题得解。
(2)设,
,
,利用
及
列方程,整理得:
,由
整理得:
,从而表示出
,联立直线与椭圆方程,由韦达定理得:
,代入上式得:
,解得:
,问题得解.
(1)设,则
内,
由余弦定理得,
化简得,解得
,
故,
∴,得
,
所以椭圆的标准方程为
.
(2)已知,
,设
,
,
,
由,①
,②
两式相除得.
又,
故,
故,③
设的方程为
,代入
整理,
得,
恒成立.
把代入③,
得,
得到,故点
在定直线
上.
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