Question

【题目】设函数.

(1)求函数的极值点个数；

(2)若，证明 .

Answer 1

【答案】（1）2个（2）详见解析

【解析】

(1)由是奇函数，把问题转化成的极值点个数问题，求出，把的正负问题转化成正负来处理，求出，判断的单调性，结合函数零点判断方法即可判断在区间上存在唯一的使.在上不存在使得，问题得解。

(2)利用（1）中的结论可知：在区间内恒成立.令，可将问题转化成 ，问题得证。

解：（1）因为为奇函数，其图像关于原点对称，所以只需考虑上的极值点个数，

，时，

.

令，，

∴当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

∴.

取，，

∴在区间上存在唯一的使.

∴在区间上单调递减，在区间上单调递增.

又为奇函数，

∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

∴的极值点共2个.

（2）由（1）可知在区间内单调递减，且恒成立.

∴时，，

即得.

又令，

得.

∴