已知$a=\int 0^{\frac{π}{2}}{({{{cos}^2}\frac{x}{2}-\frac{1}{2}})}dx$.则${^{10}}$的展开式中.x2项的系数为$\frac{105}{32}$．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．已知$a=\int_0^{\frac{π}{2}}{（{{{cos}^2}\frac{x}{2}-\frac{1}{2}}）}dx$，则${（{ax+\frac{1}{2ax}}）^{10}}$的展开式中，x²项的系数为$\frac{105}{32}$．

分析先求定积分得到a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x²项的系数．

解答解：∵已知$a=\int_0^{\frac{π}{2}}{（{{{cos}^2}\frac{x}{2}-\frac{1}{2}}）}dx$=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（$\frac{1}{2}$cosx）dx=$\frac{1}{2}$sinx${|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=$\frac{1}{2}$，
则${（{ax+\frac{1}{2ax}}）^{10}}$=${（\frac{x}{2}+\frac{1}{x}）}^{10}$的展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{10}^{r}$•2^r-10•x^10-2r，
令10-2r=2，求得 r=4，可得x²项的系数为${C}_{10}^{4}$×2^-6=$\frac{105}{32}$，
故答案为：$\frac{105}{32}$．

点评本题主要考查求定积分的值，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

	A．	命题?x∈R，2^x＞x²的否定是真命题		B．	a＞1，b＞1是ab＞1的充要条件
	C．	{x\|x²-4＞0}∩{x\|x-1＜0}=（-2，1）		D．	?x₀∈R，e^x₀≤0

	A．	（kπ-$\frac{3π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$），k∈Z		B．	（kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z
	C．	（kπ-$\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{π}{2}$），k∈Z		D．	（kπ，（k+1）π），k∈Z

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