题目内容
【题目】已知函数(
,
).
(1)若,且
在
内有且只有一个零点,求
的值;
(2)若,且
有三个不同零点,问是否存在实数
使得这三个零点成等差数列?若存在,求出
的值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,
.
【解析】
(1)求出导函数,根据导函数的正负分布求解函数单调性,再根据在
内有且只有一个零点,求得
的值;
(2)若有三个不同零点,且成等差数列,可设
利用待定系数法求解参数的取值.
(1)若,则
,
.
若,则函数
在
上单调递增,则
,
故在
无零点;
若,令
,得
,
.
在上,
,
单调递减,
在上,
,
单调递增.
又在
内有且只有一个零点,则
,
得,得
,得
.
(2)因为,则
,若
有三个不同零点,且成等差数列,
可设
,
故,则
,故
,
,
.此时,
,
,故存在三个不同的零点,故符合题意的
的值为
.
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