Question

3．已知函数y=x³在x=a_k时的切线和x轴交于a_k+1，若a₁=1，则数列{a_n}的前n项和为（　　）

• A． $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}n$
• B． ${（\frac{2}{3}）^{n-1}}$
• C． $3-{（\frac{2}{3}）^n}$
• D． $3-\frac{2^n}{{{3^{n-1}}}}$

Answer 1

分析 通过斜率公式计算可得递推关系，进而可得结论．

解答 解：∵函数y=x³，∴y′=3x²，
∴$\frac{{{a}_{k}}^{3}-0}{{a}_{k}-{a}_{k+1}}$=3${{a}_{k}}^{2}$，即$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k}-{a}_{k+1}}$=3，
化简得：3a_k+1=2a_k，即$\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}$=$\frac{2}{3}$，
又∵a₁=1，∴S_n=$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n}}{1-\frac{2}{3}}$=3-$\frac{{2}^{n}}{{3}^{n-1}}$，
故选：D．

点评 本题考查求数列的和，考查运算求解能力，利用斜率求出递推关系是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．