Question

11．已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足f（$\frac{A}{2}$+$\frac{3}{8}$π）=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，a=2$\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1，利用正弦函数的周期性和单调性即可得解；
（Ⅱ）已知等式根据三角函数中的恒等变换应用化简可得tanB=$\sqrt{3}$，结合B∈（0，π）可求B，又化简f（$\frac{A}{2}+\frac{3π}{8}$）=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，可得△ABC为正三角形，结合a及三角形面积公式即可得解．

解答 本小题满分为12分
解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin²x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1，
∴函数f（x）的最小正周期为π…3分
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{π}{2}$（k∈Z）可得：kπ$-\frac{π}{8}≤x≤$kπ+$\frac{3π}{8}$（k∈Z），
∴函数f（x）的单调增区间为：[kπ$-\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z）…6分
（Ⅱ）在△ABC中，cosC=-cos（A+B），及cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，可得：sinAsinB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，而sinA≠0，
∴tanB=$\sqrt{3}$，∵B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{3}$．
又∵f（$\frac{A}{2}+\frac{3π}{8}$）=$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{2}$）+1=$\sqrt{2}$cosA+1=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
∴△ABC为正三角形，又a=2$\sqrt{2}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{2}）^{2}$=2$\sqrt{3}$…12分

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．