题目内容
【题目】已知圆:
关于直线
对称且过点
和
,直线
的方程为:
.
(1)证明:直线与圆
相交;
(2)记直线与圆
的两个交点为
,
.
①若弦长,求实数
的值;
②求面积的最大值及
面积的最大时
的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)①0,②2,.
【解析】
(1)首先根据题中条件求出圆方程,再根据圆与直线的位置关系证明直线与圆相交;
(2)①利用圆与直线所交弦长和圆的半径求出参数即可,②根据弦长与点到直线距离公式列出
的面积公式,即可求出最大面积,再根据最大面积求出直线方程中的参数
.
(1)∵,
,
∴的垂直平分线为
,
联立得圆心坐标
,
∴圆的方程为,
∵圆过点
,
∴,
得到圆的方程,
设直线的方程为
,
联立,
得,
∴,
∴直线与圆
相交;
(2)记圆心到直线
的距离为
,
①∵,
解得,
∴,
解得,
②,
当时,三角形面积的最大值为2,
此时,
解得.
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