题目内容
6．给出下列五个结论：①在△ABC中，若sinA＞sinB，则必有cosA＜cosB；
②在△ABC中，若a，b，c成等比数列，则角B的取值范围为$（{0，\frac{π}{3}}]$；
③等比数列{an}中，若a3=2，a7=8，则a5=±4；
④等差数列{an}的前n项和为Sn，S10＜0且S11=0，满足Sn≥Sk对n∈N*恒成立，则正整数k构成集合为{5，6}
⑤若关于x的不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1＜0的解集为R，则a的取值范围为$（{-\frac{3}{5}，1}）$．
其中正确结论的序号是①②④．（填上所有正确结论的序号）．
分析 ①根据正弦定理，大边对大角可得A＞B，根据余弦的图象可得命题正确；
②根据已知得b2=ac，由余弦定理可得cosB≥$\frac{1}{2}$，可解得B的范围，命题正确；
③由$\left\{\begin{array}{l}{2={a}_{1}{q}^{2}}\\{8={a}_{2}{q}^{6}}\end{array}\right.$，解得a1，q2，可得a5，不正确；
④由$\left\{\begin{array}{l}{10{a}_{1}+45d＜0}\\{11{a}_{1}+55d=0}\end{array}\right.$，即可得d＞0，a6=a1+5d=0，可得a1到a5都是负数，a6是0，以后各项全是正数．要Sn≥Sk对n∈N+恒成立，可解得k=5，或k=6可证命题正确；
⑤首先题目由不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1＜0的解集为R，求实数a的取值范围，考虑转化为函数f（x）=（a2-1）x2-（a-1）x-1．对任意的x，函数值小于零的问题．再分类讨论a=1或a≠1的情况即可解出答案．
解答 解：①在△abc中，sinA＞sinB，根据正弦定理，根据大边对大角可得A＞B，根据余弦的图象，可得cosA＜cosB，所以正确；
②根据已知得：b2=ac，由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，可得B∈$（{0，\frac{π}{3}}]$，所以正确；
③由$\left\{\begin{array}{l}{2={a}_{1}{q}^{2}}\\{8={a}_{2}{q}^{6}}\end{array}\right.$，解得a1=1，q2=2，可得：a5=${a}_{1}{q}^{4}$=4，所以不正确；
④解：∵Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＜0，且S11=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10{a}_{1}+45d＜0}\\{11{a}_{1}+55d=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+5d=0}\\{{a}_{1}+\frac{9}{2}d＜0}\end{array}\right.$④，
∴d＞0，a6=a1+5d=0，
∴a1到a5都是负数，a6是0，以后各项全是正数．
∵Sn≥Sk对n∈N+恒成立，∴k=5，或k=6．
∴正整数k构成的集合为{5，6}．故正确；
⑤解：设函数f（x）=（a2-1）x2-（a-1）x-1．由题设条件关于x的不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1＜0的解集为R．
可得对任意的x属于R．都有f（x）＜0．
又当a≠1时，函数f（x）是关于x的抛物线．故抛物线必开口向下，且于x轴无交点．
故满足$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＜0}\\{△=（a-1）^{2}+4（{a}^{2}-1）＜0}\end{array}\right.$
故解得-$\frac{3}{5}$＜x＜1．
当a=1时．f（x）=-1．成立．
综上，a的取值范围为（-$\frac{3}{5}$，1]．
故不正确．
故答案为：①②④．
点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的应用，考查了函数的性质问题，其中应用到函数在不同区间的值域，对于抛物线值域问题一直是高考重点题型，多以选择填空的形式出现，同学们要注意掌握，本题综合性强，考查知识点多，属于难题．
黎明文化寒假作业系列答案| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |