题目内容

5.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{ax+1}{2-x},x≠2}\\{{a}^{2},x=2}\end{array}\right.$的定义域与值域相同,则实数a的取值是a=0或-1.

分析 可以看出f(x)的定义域为R,从而值域也为R,x≠2时,f(x)可以变成:f(x)=$-a+\frac{2a+1}{2-x}$,从而可看出此时f(x)≠-a,而由于f(x)的值域为R,从而x=2时的f(x)的值一定是-a,从而得到a2=-a,这样解出a即可.

解答 解:函数f(x)的定义域为R;
∴f(x)的定义域也为R;
x≠2时,$f(x)=\frac{ax+1}{2-x}=\frac{-a(2-x)+2a+1}{2-x}=-a+\frac{2a+1}{2-x}$;
$\frac{2a+1}{2-x}≠0$;
f(x)≠-a;
∵f(x)的值域为R;
∴x=2时,f(x)=a2=-a;
∴a=0,或-1;
∴实数a的取值是a=0或-1.
故答案为:a=0或-1.

点评 考查函数定义域、值域的概念,分离常数法在求函数值域中的运用,以及分段函数的定义域、值域的求法.

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