Question

16．已知圆x²+y²=8上恰有三个点到过点P（4，0）的直线l的距离都等于$\sqrt{2}$，则直线l的斜率为±$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 由题意可得，圆心到直线的距离等于$\frac{1}{2}$r=$\sqrt{2}$，设直线l的方程为y=k（x-4），即kx-y-4k=0，则$\frac{|-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，由此求得直线l的斜率．

解答 解：∵圆x²+y²=8的圆心为O（0，0），半径r=2$\sqrt{2}$，圆x²+y²=8上恰有3个点到直线l的距离都等于$\sqrt{2}$，
∴圆心到直线的距离等于$\frac{1}{2}$r=$\sqrt{2}$，
设直线l的方程为y=k（x-4），即kx-y-4k=0，
∴$\frac{|-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，∴k=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
故答案为：±$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，判断圆心到直线的距离等于$\frac{1}{2}$r=$\sqrt{2}$是解题的关键，属于中档题．