Question

10．设f（x）=ax²+4x（a∈R）的值域是（-∞，4]．
（1）求a的值；
（2）若方程|f（x）|=m有四个不同的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意知函数为二次函数，图象开口向下，最大值为4，从而解得．
（2）作函数y=|f（x）|=|-x²+4x|与函数y=m的图象，由数形结合求解．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²+4x（a∈R）的值域是（-∞，4]，
∴a＜0且f（-$\frac{2}{a}$）=$\frac{4}{a}$-$\frac{8}{a}$=-$\frac{4}{a}$=4，
即a=-1；
（2）由（1）知，f（x）=-x²+4x，
作函数y=|f（x）|=|-x²+4x|与函数y=m的图象如下，

结合图象可知，实数m的取值范围为（0，4）．

点评 本题考查了二次函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．