题目内容
【题目】已知椭圆:的右焦点为
点的坐标为
,
为坐标原点,
是等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)经过点作直线
交椭圆
于
两点,求
面积的最大值;
(3)是否存在直线交椭圆于
两点,使点
为
的垂心(垂心:三角形三边高线的交点)?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)由是等腰直角三角形,可得
,从而可得椭圆方程;
(2)设过点的直线
的方程为
,
的横坐标分别为
,求出
的最大值,即可求得
面积
的最大值;
(3)假设存在直线交椭圆于
两点,且使点
为
的垂心,设直线
的方程为
,代入椭圆方程,利用韦达定理结合
,即可求得结论.
解:(1)由是等腰直角三角形,可得
,
故椭圆方程为;
(2)设过点的直线
的方程为
,
的横坐标分别为
,
将线的方程为
代入椭圆方程,
消元可得,
∴,
,
,
令,则
令,则
(当且仅当
时取等号)
又面积
,
∴△AOB面积的最大值为;
(3)假设存在直线交椭圆于
两点,且使点
为
的垂心,
设,
因为,所以
.
于是设直线的方程为
,代入椭圆方程,
消元可得.
由,得
,且
,
由题意应有,所以
,
所以.
整理得.
解得或
.
经检验,当时,
不存在,故舍去.
∴当时,所求直线
存在,且直线l的方程
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
【题目】从某大学中随机选取7名女大学生,其身高x(单位:cm)和体重y(单位:kg)数据如下表:
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
身高x | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 |
体重y | 52 | 52 | 53 | 55 | 54 | 56 | 56 |
(1)求y关于x的回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析这7名女大学生的身高和体重的变化,并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.