题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，侧面
是为菱形，
在平面内的射影
恰为线段
的中点.
（1）求证：
；
（2）若
，
，求二面角
的平面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）连接
，由线面垂直的判定方法可证得
面
，从而得到
，根据平行关系可证得结论；
（2）以
为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果.
（1）证明：如图，连接，易知
.
∵侧面
是菱形，∴
.
由射影定义可知：
面，又
面，∴
，
而
，且
，
面，∴面，
平面，∴.
∵
，∴
.
（2）由（1）知：
，
，
，，于是以为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴建立空间直角坐标系，如图所示：
不妨设
.
∵在菱形中，
，∴
，
.
在
中，
.
于是
，
，
，
，
，
∴
，
，
.
又由
，可解得：
，
.
设平面
的法向量为
，
则由
，
得
，
令
，则
，
，即
.
同理可得平面
的法向量
.
∴
，
二面角
的平面角为锐角，
所求的余弦值为.
练习册系列答案
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频数（个） | 15 | 30 | 40 | 15 |
以加工这100个零件用时的频率代替概率.
（1）求
的分布列与数学期望
；
（2）刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座，用时40分钟，另外他打算在讲座前、讲座后各加工1个该零件作示范.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.
