题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
的左、右焦点分别为
,离心率
.过
的直线
与椭圆
相交于
两点,且
的周长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点位于第一象限,且
,求
的外接圆的方程.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由的周长为
得
,再结合
即可解出a,b;
(2)设,由
得
,联立椭圆方程可解得A点坐标,然后再写出直线
的方程,联立椭圆方程得到B点坐标即可解决.
解:(1)因为椭圆的离心率
,
所以①.
又的周长为
,所以
.②
联立①②,解得,从而
,
因此椭圆的方程为
.
(2)因为点位于第一象限,故设
,其中
.
因为,所以
,又点
在椭圆
上,
所以解得
,从而
.
由(1)知,椭圆的左焦点为
,所以直线
的方程为
.
由得
,解得
或
.
所以.
因为,所以
的外接圆就是以
为直径的圆.
又椭圆的右焦点为
,
所以线段的中点
的坐标为
,此时
,
故的外接圆的方程为
.
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