题目内容
【题目】已知椭圆 +
=1(a>b>0)的左右焦点F1 , F2其离心率为e=
,点P为椭圆上的一个动点,△PF1F2内切圆面积的最大值为
.
(1)求a,b的值
(2)若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点,且满足 ,
=0,求|
|+|
|的取值范围.
【答案】
(1)解:设△PF1F2内切圆半径为r,
由△PF1F2的面积为S= r(PF1+PF2+F1F2)=
r(2a+2c),
S最大,则r最大,
当P为椭圆上下顶点时,△PF1F2的面积最大,其内切圆面积取得最大值,
∵ ,∴
.
=
=bc=
r=
,化为
,
又 ,a2=b2+c2,联立解得a=4,c=2,b=2
(2)解:∵满足 =0,
∴直线AC,BD垂直相交于点F1,
由(1)椭圆方程 ,F1(﹣2,0).
①直线AC,BD有一条斜率不存在时,| |+|
|=6+8=14.
②当AC斜率存在且不为0时,设方程y=k(x+2),A(x1,y1),C(x2,y2),
联立 ,化为(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣48=0.
∴x1+x2= ,x1x2=
,
∴ =
=
,
把﹣ 代入上述可得:可得|
|=
,
∴| |+|
|=
,
设t=k2+1(k≠0),t>1.
∴| |+|
|=
,∵t>1,∴
,
∴| |+|
|∈
.
综上可得:| |+|
|的取值范围是
【解析】(1)当P为椭圆上下顶点时,△PF1F2内切圆面积取得最大值,设△PF1F2内切圆半径为r,利用 =
=bc=
r,化为
,又
,a2=b2+c2 , 联立解得a,c,b即可得出.(2)由满足
,
=0,可得直线AC,BD垂直相交于点F1 , 由(1)椭圆方程
,F1(﹣2,0).①直线AC,BD有一条斜率不存在时,|
|+|
|=14.②当AC斜率存在且不为0时,设方程y=k(x+2),A(x1 , y1),C(x2 , y2),与椭圆方程联立化为(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣48=0.利用根与系数的关系可得:
=
=
,把﹣
代入上述可得:可得|
|=
,可得|
|+|
|=
,设t=k2+1(k≠0),t>1.即可得出.
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