Question

2．若函数f（x）=x-log_ax+1（a＞0且a≠1）的最小值为2，则a=e．

Answer 1

分析 当0＜a＜1时，函数f（x）=x-log_ax+1为增函数，此时函数无最值，当a＞1时，利用导数法可得当x=$\frac{1}{lna}$时，函数f（x）取最小值$\frac{1}{lna}$-log_a$\frac{1}{lna}$+1=2，解得答案．

解答 解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x-log_ax+1为增函数，此时函数无最值，
当a＞1时，f′（x）=1-$\frac{1}{lnax}$，
令f′（x）=0，则x=$\frac{1}{lna}$，
当x∈（0，$\frac{1}{lna}$）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；
当x∈（$\frac{1}{lna}$，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；
故当x=$\frac{1}{lna}$时，函数f（x）取最小值$\frac{1}{lna}$-log_a$\frac{1}{lna}$+1=2，
解得：a=e
故答案为：e

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，导数法求函数的最值，是对数与导数的综合应用，难度较大，属于难题．