Question

【题目】已知函数， .

（Ⅰ）若函数在上为减函数，求的最小值；

（Ⅱ）若函数（， 为自然对数的底数），，对于任意的，恒有成立，求的范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）先将函数单调递减问题转化为导函数非正恒成立问题，再根据一元二次不等式恒成立充要条件，转化为对应区间端点值非正，最后解不等式可得的取值范围，进而确定的最小值；（Ⅱ）先将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题： ,利用导数可求得,转化为不等式对恒成立，易得.

试题解析：（Ⅰ）

所以在上恒成立

所以在上恒成立

令，所以

所以 ， ， 的最小值为

（Ⅱ），

由，则

化简得,解得 或

所以

当时， ， 在单调递增

当时， ， 在单调递减

又因为，所以当时，

，即对恒成立

因为,所以,所以