Question

19．已知集合A={x∈R|ax²-8x+16=0}．
（1）若A中只有1个元素，试求实数a的值，并用列举法表示集合A；
（2）若集合A中有2个元素，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）集合A={ax²-8x+16=0}只有一个元素，等价于方程有且只有一个解，分类讨论，即可得到结论；
（2）集合A={kx²-8x+16=0}有2个元素，等价于一元二次方程判别式△＞0，解不等式，即可得到结论．

解答 解：（1）当a=0时，原方程变为-8x+16=0，x=2，此时集合A={2}；
当k≠0时要使一元二次方程ax²-8x+16=0有一个实根，需△=64-64a=0，即a=1．此时方程的解为x₁=x₂=4．集合A={4}，满足题意．
综上所述，实数a的值为0或1，当a=0时，集合A={2}；当a=1时，集合A={4}．
（2）若集合A中有2个元素，由题意得：
a≠0时要使一元二次方程ax²-8x+16=0有2个实根，
需△=64-64a＞0，即a＜1，
综上：a＜1且a≠0．

点评 本题考查集合的表示，考查学生分析转化问题的能力，属于基础题．