题目内容
【题目】如图,在三棱锥中,平面
平面
,点
在
上,
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若二面角的余弦值为
,求三棱锥
的体积.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)找准突破方向,证明平面
即可,再根据条件分析,利用面面垂直得线线垂直及平面几何知识即可证出;(Ⅱ)建系,利用空间向量解决问题,设设
,计算二面角即可.
试题解析:(Ⅰ)取的中点,连接
因为,所以
,
又平面平面
,平面
平面
平面
,
所以平面
,
又平面
,所以
在中,
,所以
,
由角平分线定理,得,
又,所以
,
又因为平面
平面
,
所以平面
,
又平面
,所以
(Ⅱ)在中,
,
由余弦定理得,所以
,即
,
所以,所以
,
结合(Ⅰ)知, 两两垂直,以
为原点,分别以向量
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系
(如图),设
,
则,
所以,
设是平面
的一个法向量,
则即
,整理,得
令,得
因为平面
,所以
是平面
的一个法向量.
又因为二面角的余弦值为
,
所以,解得
或
(舍去),
又平面
,A所以
是三棱锥
的高,
故
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