题目内容
【题目】已知函数
(Ⅰ)若有唯一解,求实数
的值;
(Ⅱ)证明:当时,
(附: )
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)使有唯一解,只需满足
,且
的解唯一,求导研究函数,注意分类讨论利用极值求函数最大值;(Ⅱ)只需证即证
,构造函数
,利用单调性,极值求其最小值,证明其大于零即可.
试题解析:(Ⅰ)函数的定义域为
要使有唯一解,只需满足
,且
的解唯一,
,
①当时,
,故
在
上单调递增,且
,
所以的解集为
,不符合题意;
②当,且
时,
单调递增;当
时,
单调递减,所以
有唯一的一个最大值为
,
令,则
,
当时,
,故
单调递减;当
时,故
单调递增,
所以,故令
,解得
,
此时有唯一的一个最大值为
,且
,故
的解集是
,符合题意;
综上,可得
(Ⅱ)要证当时,
即证当时,
,
即证
由(Ⅰ)得,当时,
,即
,又
,从而
,
故只需证,当
时成立;
令,则
,
令,则
,令
,得
因为单调递增,所以当
时,
单调递减,即
单调递减,当
时,
单调递增,即
单调递增,
且,
由零点存在定理,可知,使得
,
故当或
时,
单调递增;当
时,
单调递减,所以
的最小值是
或
由,得
,
,
因为,所以
,
故当时,所以
,原不等式成立.
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