题目内容
【题目】已知函数
， 
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若函数
在区间
有唯一零点
，证明： 
.
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得
， 分
， 
， 
，三种情况讨论可得单调区间.
（Ⅱ）由（1）及
可知：仅当极大值等于零，即
且 
所以
，且
，消去
得
，构造函数，证明单调且零点存在且唯一即可.
试题解析：（Ⅰ） 
， 
，
令
， 
，
若
，即
，则
，
当
时， 
， 
单调递增，
若
，即
，则
，仅当
时，等号成立，
当
时， 
， 
单调递增.
若
，即
，则
有两个零点
， 
，
由
， 
得
，
当
时， 
， 
， 
单调递增；
当
时， 
， 
， 
单调递减；
当
时， 
， 
， 
单调递增.
综上所述，
当
时， 
在
上单调递增；
当
时， 
在
和
上单调递增，
在
上单调递减.
（Ⅱ）由（1）及
可知：仅当极大值等于零，即
时，符合要求.
此时， 
就是函数
在区间
的唯一零点
.
所以
，从而有
，
又因为
，所以
，
令
，则
，
设
，则
，
再由（1）知： 
， 
， 
单调递减，
又因为
， 
，
所以
，即
点晴：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
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