题目内容
【题目】已知函数(
,
为自然对数的底数).
(1)讨论函数的单调区间;
(2)当时,
恒成立,求实数
的最小值.
【答案】(1)单调递增区间是,单调递减区间是
.(2)-e.
【解析】试题分析:(1)由题意,利用导数法进行讨论,由可求出函数的增区间,
可求出函数的减区间,同时对参数
进行分段讨论,从而问题即可得解;(2)由题意,可构造函数
,由此可将问题转化为计算
,再根据导数进行运算求解,从而问题可得解.
试题解析:(1)由题知,函数的定义域是
.
,
当时,
对任意
恒成立,
所以函数的单调递增区间是
,无单调递减区间;
当时,令
,得
;
令,得
;
所以函数的单调递增区间是
,
单调递减区间是.
(2)当时,
恒成立,
即为恒成立,
即为恒成立.
设,
则.
显然在区间
上单调递增,且
,
所以当时,
;当
时,
;
所以函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.
所以,
解得.
即实数的最小值是
.

【题目】根据统计,某市骑行过共享单车的人数约占全市的80%,为确定单车的投放数量以及对同年龄的车型配比,需要对该市市民每月骑行单车的次数进行统计,如表所示是对该市随机抽取100位市民的调查结果,每月骑行次数不超过20次称“不经常骑行”,超过20次称“经常骑行”.
经常骑行 | 不经常骑行 | 合计 | |
年龄不低于40岁 | 15 | 25 | 40 |
年龄低于40岁 | 35 | 25 | 60 |
合计 | 50 | 50 | 100 |
(1)是否有95%的把握认为骑行单车次数与年龄有关?
(2)以样本的频率为概率
①现从该市市民中随机抽取1人,求该人为“经常骑行”的概率
②已知该市人口约为600万,忽略把经常骑行人数的骑行次数,统计得经常骑行人群每人每月骑行次数的平均值为45次(每月按30天计算),若每辆单车每天被骑行(15次左右,可达到既缓解交通压力又减少了胡乱放置的目的,则该市配置单车的数量应为多少?
附参考公式及数据
| 0.10 | 0.050 | 0.010 |
2.706 | 3.841 | 6.635 |