Question

提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x≤200时，车流速度v与车流密度x满足，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．
(Ⅰ) 当0<x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(Ⅱ) 当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据）

Answer 1

（1） （2）当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时．

解析试题分析：解：（1)由题意：当时，v(x)=30；
当时，由于, 
再由已知可知，当x=200时，v(0)=0,代入解得k="2000." 故函数v(x)的表达式为
5分
(2)由题意（1）可得

当时，,当时取最大值1500. 8分

当时，

取等号当且仅当
即时， 取最大值。  12分(这里也可利用求导来求最大值）
综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，
最大值约为3056辆/小时．　　　　　　　　　　　　　　　       14分
考点：函数的运用
点评：主要是考查了实际问题中的函数模型的运用，分析问题和解决问题能力的考查，属于中档题。