题目内容
6．已知y=f（x）是定义在R上的单调函数，任意实数x1，x2满足x1＜x2，λ≠-1，α=$\frac{{x}_{1}+λ{x}_{2}}{1+λ}$，β=$\frac{λ{x}_{1}+{x}_{2}}{1+λ}$，若|f（x1）-f（x2）|＜|f（α）-f（β）|恒成立，则有（ ）| A． | 0＜λ＜1 | B． | λ=0 | C． | λ＜0且λ≠-1 | D． | λ≥1 |
分析 对抽象函数的理解，可以用简单的一次函数模拟，帮助分析，由单调函数可得|α-β|＞|x1-x2|，代入可得|1-λ|＞|1+λ|，两边平方，解出即可．
解答 解：∵y=f（x）是定义在R上的单调函数而|f（x1）-f（x2）|＜|f（α）-f（β）|，
易得：α+β=x1+x2，
若为递减函数如图：
递增函数同理可得，
∴|α-β|＞|x1-x2|
将α=$\frac{{x}_{1}+λ{x}_{2}}{1+λ}$，β=$\frac{λ{x}_{1}+{x}_{2}}{1+λ}$，代入得
|1-λ||x1-x2|＞|x1-x2|而x1≠x2，
∴|1-λ|＞|1+λ|，
∴4λ＜0，解得λ＜0，又λ≠-1，
故选：C．
点评 考查了抽象函数的理解，难点是如何得出|α-β|＞|x1-x2|．
练习册系列答案
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16．已知△ABC的两边长分别为2，3，这两边的夹角的余弦值为$\frac{1}{3}$，则△ABC的外接圆的直径为（ ）
| A． | $\frac{9\sqrt{2}}{2}$ | B． | $\frac{9\sqrt{2}}{4}$ | C． | $\frac{9\sqrt{2}}{6}$ | D． | 8$\sqrt{2}$ |
16．如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，CF：FB=2：1，那么$\overrightarrow{EF}$=（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$ | B． | $\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$ | C． | $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$ | D． | $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$ |