题目内容

3．设f（x）=x（x-1）（x-2）…（x-n）（n∈N+），求f′（0）及f（n+1）（x）．

分析 计算可得f（x）的导数，代值计算可得f′（0），由导数对次数和系数的影响规律可得．

解答 解：∵f（x）=x（x-1）（x-2）…（x-n），
∴f′（x）=（x-1）（x-2）…（x-n）+x（x-2）…（x-n）+…+x（x-1）（x-2）…（x-n-1），
∴f′（0）=（-1）（-2）…（-n）=（-1）n•n！；
∵f（x）=x（x-1）（x-2）…（x-n）的展开式的x的最高次数为n+1，
由多项式函数求一次导数次数降低一次，
故f（n+1）（x）=（n+1）n（n-1）…1=（n+1）！

点评 本题考查导数的运算，涉及求导法则，属基础题．

练习册系列答案
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