题目内容
(本小题满分13分)
已知数列
满足:
,

(I)求
得值;
(II)设
求证:数列
是等比数列,并求出其通项公式;
(III)对任意的
,在数列
中是否存在连续的
项构成等差数列?若存在,写出这
项,并证
明这
项构成等差数列;若不存在,说明理由.
已知数列




(I)求

(II)设


(III)对任意的






解:(I)因为
,
………………3分
(II)由题意,对于任意的正整数
,
所以
………………4分
又
所以
………………6分
又
………………7分
所以
是首项为2,公比为2的等比数列,所以
………………8分
(III)存在,事实上,对任意的
中,
这连续的
项就构成一个等差数列………………10分
我们先来证明:
“对任意的
”
由(II)得
当
为奇数时,
当k为偶数时,
记
因此要证
其中
(这是因为若
时,则k一定是奇数)
有


如此递推,要证
其中
如此递推下去,我们只需证明
即
,由(I)可得,
所以对
对任意的

所以
又
所以
这连续的
项,
是首项为
的等差数列。 ………………13分
说明:当
时,
因为
构成一个项数为
的等差数列,所以从这个数列中任取连续的
项,也是一个项数为
的等差数列。


(II)由题意,对于任意的正整数

所以

又

所以

又

所以


(III)存在,事实上,对任意的



我们先来证明:
“对任意的

由(II)得

当


当k为偶数时,

记

因此要证

其中

(这是因为若

有



如此递推,要证

其中

如此递推下去,我们只需证明

即

所以对

对任意的


所以

又

所以


是首项为



因为




略

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