题目内容
【题目】如图，在斜三棱柱
中，底面
是边长为2的正三角形，侧棱长为
，点
在底面
的投影是线段
的中点
，
为侧棱
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
与平面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
（1）先通过证明
面
，从而证得
，再利用勾股定理证得
，而
，所以证得
，再利用线面垂直判定定理证得
面
.
（2）利用向量法，以
为原点，
所在直线为
轴，从而分别求出平面
与平面的法向量，利用公式求出二面角的余弦值，再通过同角三角函数的平方关系求出正弦值.
（1）连接
，因为
平面
，所以
又
为正三角形，
，所以
而
，所以平面，
所以
在
中，
，
所以
，则
为等腰直角三角形
因为
为侧棱
的中点，所以，又
，所以
而
，所以平面
（2）如图，分别以
，
，
所在直线为
，
，
轴，建立空间直角坐标系
则
，
，
，
由
得
由（1）得
为平面的一个法向量
设
为平面的一个法向量
由
得
取
得
所以
故平面与平面夹角的正弦值为
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