题目内容
(本小题满分14分)
如图,正四棱柱中,,点在上且.
(1) 证明:平面;
(2) 求二面角的余弦值.
如图,正四棱柱中,,点在上且.
(1) 证明:平面;
(2) 求二面角的余弦值.
解法一:
依题设知,.
(Ⅰ)连结交于点,则.由三垂线定理知,.…………2分
在平面内,连结交于点,
由于,故,,与互余.
于是.…………5分
与平面内两条相交直线都垂直,所以平面.…………6分
(Ⅱ)作,垂足为,连结.由三垂线定理知,
故是二面角的平面角.…………8分
,,.
,.
又,.
.…………12分
∴ …………13分
所以二面角的余弦值为. …………14分.
解法二:
以为坐标原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系.
依题设,.………2分
,. ………4分
(Ⅰ)因为,,故,.
又,所以平面. ………7分
(Ⅱ)设向量是平面的法向量,则
,.故,.………10分
令,则,,.………11分
等于二面角的平面角,
.………13分
所以二面角的余弦值为. …………14分
略
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