Question

【题目】设函数f（x）=lnx+ax2+x+1．

（I）a=﹣2时，求函数f（x）的极值点；

（Ⅱ）当a=0时，证明xex≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．

Answer 1

【答案】(1) x=1是f（x）的极大值点，无极小值点(2)详见解析

【解析】试题分析：（1）求导数判断函数的单调性，通过单调性求极值点；（2）当a=0时构造函数F（x）=xex﹣f（x）=xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），只要证明F（x）≥=0即可。

试题解析：

（Ⅰ）由题意得函数的定义域为（0，+∞），

∵ f（x）=lnx+ax2+x+1，

∴f′（x）=﹣2x+1=，

令f′（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1，

∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

∴x=1是函数f（x）的极大值点，无极小值点；

（Ⅱ）证明：当a=0时，f（x）=lnx+x+1

令F（x）=xex﹣f（x）=xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），

则F′（x）= （xex﹣1），

令G（x）=xex﹣1，

则G′（x）=（x+1）ex＞0，（x＞0），

∴函数G（x）在（0，+∞）递增，

又G（0）=﹣1＜0，G（1）=e﹣1＞0，

∴存在唯一c∈（0，1）使得G（c）=0，

且F（x）在（0，c）上单调递减，在（c，+∞）上单调递增，

故F（x）≥F（c）=cec﹣lnc﹣c﹣1，

由G（c）=0，得cec﹣1=0，得lnc+c=0，

∴F（c）=0，

∴F（x）≥F（c）=0，

从而证得xex≥f（x）．