题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且满足a1= ,2Sn﹣SnSn﹣1=1(n≥2).
(1)猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明;
(2)设bn= ,n∈N* , 求bn的最大值.
【答案】
(1)解:∵S1=a1= ,2Sn=SnSn﹣1+1(n≥2),
∴2S2=S2S1+1= S2+1,
∴S2= ;
∴2S3=S3S2+1= S3+1,
∴S3= ;
由S1= ,S2= ,S3= ,可猜想Sn= ;
证明:①当n=1时,S1= ,等式成立;
②假设n=k时,Sk= ,
则n=k+1时,∵2Sk+1=Sk+1Sk+1= Sk+1+1,
∴(2﹣ )Sk+1=1,
∴Sk+1= = ,
即n=k+1时,等式也成立;
综合①②知,对任意n∈N*,均有Sn=
(2)解:由(1)可知,n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ = ,
当n=1时,a1= = 满足上式,
∴an= ,
∴bn= = = ,n∈N*,
设f(n)=x+ ,则有f(x)在(0, )上为减函数,在( ,+∞)为增函数,
∵n∈N*,且f(5)=f(6)=11,
∴当n=5或n=6时,bn有最大值
【解析】(1)由S1=a1= ,2Sn=SnSn﹣1+1(n≥2),通过计算可求得S1 , S2 , S3;可猜想Sn= ,再利用数学归纳法证明即可.(2)求出bn= ,n∈N*,构造函数f(n)=x+ ,则利用函数的单调性即可求出.
【考点精析】本题主要考查了归纳推理和数学归纳法的定义的相关知识点,需要掌握根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理;数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能正确解答此题.
【题目】某人射击一次命中7~10环的概率如下表
命中环数 | 7 | 8 | 9 | 10 |
命中概率 | 0.16 | 0.19 | 0.28 | 0.24 |
计算这名射手在一次 射击中:
(1)射中10环或9环的概率;
(2)至少射中7环的概率;
(3)射中环数不足8环的概率.