题目内容
【题目】已知函数的图像与直线相切.
(Ⅰ)求的值,并求的单调区间;
(Ⅱ)若,设,讨论函数的零点个数.
【答案】(Ⅰ) ,函数的单调减区间为,增区间为; (Ⅱ)答案见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意结合导函数与原函数切线的关系得到关于实数m的方程,解方程可得m=1,则函数的单调减区间为,增区间为;
(Ⅱ)原问题转化为函数的图象的交点个数,分类讨论可得:
当时,函数无零点;
当或时,函数恰有一个零点;
当时,函数恰有两个零点.
试题解析:
(I)设的图像与直线相切于点,
,
则即
解得:
由得;得;
所以函数的单调减区间为;增区间为
(II)
;
记函数
由得;得
在上单调递增;在上单调递减
又时,;
时,;且.
则:当时, 与的图像无交点,函数无零点;
当或时, 与的图像恰有一个交点,函数恰有一个零点;
当时, 与的图像恰有两个交点,函数恰有两个零点.
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