Question

(本题分12分）                        
定义.
（Ⅰ）求曲线与直线垂直的切线方程；
（Ⅱ）若存在实数使曲线在点处的切线斜率为,且,求实数的取值范围.

Answer 1

（1）. (2)。

本试题主要是考查了导数的几何意义的运用，以及运用导数求解函数的最值问题的综合运用。
（1）因为所求曲线的切线与直线垂直，故令
得得到，进而得到切线方程。
（2）函数
令,得
因切点为,故有，构造函数利用导数求解不等式转化为在上有解来解决。
解：（1）函数，
依题意令①， -------------------------2分
因为所求曲线的切线与直线垂直，故令
得②，由①②知应取，得，切点为，
所求切线方程是，即.------------------4分
(2)函数
令,得
因切点为,故有-----------------6分
又,依题意有
所以
即---------------------8分
该不等式在上有解,即在上有解,
转化为在上有解,-------- -------------10分
令,则,在上恒有
所以函数是上的减函数,
其最大值为,所以实数的取值范围是--------------12分