Question

【题目】已知实数，满足，实数，满足，则的最小值为__________．

Answer 1

【答案】1

【解析】由ln(b+1)+a3b=0,得a=3bln(b+1),则点(b,a)是曲线y=3xln(x+1)上的任意一点，

由2dc =0,得c=2d ,则点(d,c)是直线y=2x 上的任意一点，

因为(ac)2+(bd)2表示点(b,a)到点(d,c)的距离的平方，即曲线上的一点与直线上一点的距离的平方，

所以(ac)2+(bd)2的最小值就是曲线上的点到直线距离的最小值的平方,即曲线上与直线y=2x 平行的切线到该直线的距离的平方。

，令y′=2，得x=0，此时y=0，即过原点的切线方程为y=2x，

则曲线上的点到直线距离的最小值的平方d2= =1.