题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数在区间
上的单调性;
(2)若曲线仅在两个不同的点
,
处的切线都经过点
,其中
,求
的取值范围.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)先对函数求导,再分类分析讨论求解;(2)先依据导数的几何意义建立方程组,再抽象概括出方程有解,以此为前提构造函数,最后借助导数使得问题获解。
试题解析:
(1)证明:∵,∴
,
∴,令
,得
.
当时,
,在区间
上,
,∴
在区间
上递减.
当时,
,在区间
上,
,∴
在区间
上递增.
当时,在区间
上,
,∴
在区间
上递增;
在区间上,
,∴
在区间
上递减.
(2)曲线在
两点处的切线的方程分别为
,
.
设,将
代入两条切线方程,得
,
.
由题可得方程即
有且仅有不相等的两个实根.
设,
.
①当时,
,∴
单调递增,显然不成立.
②当时,
,解得
或
.
∴的极值分别为
,
.
要使得关于的方程
有且仅有两个不相等的实根,
则或
.
∵,∴
,∴
,(1),或
.(2)
解(1),得,解(2),得
或
.
∵,∴
的取值范围为
.
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