题目内容
【题目】如图,已知椭圆:
的离心率为
,以椭圆
的左顶点
为圆心作圆
:
,设圆
与椭圆
交于点
与点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最小值,并求此时圆
的方程;
(3)设点是椭圆
上异于
,
的任意一点,且直线
分别与
轴交于点
,
为坐标原点,求证:
为定值.
【答案】(1);(2)
,
;(3)
,证明见解析.
【解析】试题分析:(1)根据椭圆的离心率以及圆的方程,求出
的值,进而可得到椭圆的方程;(2)先设出点
的坐标,并表示出
,再根据
,
在椭圆上,即可求出
的最小值,进而可求出此时圆
的方程;(3)先设出点
的坐标,并写出直线
的方程,进而得到
的表达式,再根据点
在椭圆上,即可证得
为定值.
试题解析:(1)依题意,得,
,
;
故椭圆的方程为
(2)方法一:点与点
关于
轴对称,设
,
, 不妨设
.
由于点在椭圆
上,所以
. (*)
由已知,则
,
,
由于,故当
时,
取得最小值为
.
由(*)式,,故
,又点
在圆
上,代入圆的方程得到
故圆的方程为:
.
方法二:点与点
关于
轴对称,故设
,
不妨设,由已知
,则
故当时,
取得最小值为
,此时
,
又点在圆
上,代入圆的方程得到
.
故圆的方程为:
.
(3) 方法一:设,则直线
的方程为:
,
令,得
, 同理:
,
故(**)
又点与点
在椭圆上,故
,
,
代入(**)式,得:.
所以为定值.
方法二:设,不妨设
,
,其中
.则直线
的方程为:
,
令,得
,
同理:,
故.
所以为定值
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目