题目内容

【题目】设函数f(x)=ln x-ax(a∈R)(e=2.718 28…是自然对数的底数).

(1)判断f(x)的单调性;

(2)当f(x)<0在(0,+∞)上恒成立时,求a的取值范围;

(3)证明:当x∈(0,+∞)时, (1+x) <e.

【答案】见解析

【解析】(1)f′(x)=-a,函数f(x)=ln x-ax的定义域为(0,+∞),

当a≤0时,f′(x)>0,此时f(x)在(0,+∞)上是增函数,

当a>0时,x∈时,f′(x)>0,此时f(x)在上是增函数,x∈时,f′(x)<0,此时f(x)在上是减函数.

综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数,当a>0时,f(x)在上是增函数,在上是减函数.

(2)f(x)<0在(0,+∞)上恒成立,即a>在(0,+∞)上恒成立,

设g(x)=,则g′(x)=

当x∈(0,e)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,当x∈(e,+∞)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,

故当x=e时,g(x)取得最大值

所以a的取值范围是.

(3)证明:要证当x∈(0,+∞)时, (1+x) <e,设t=1+x,t∈(1,+∞),只要证t<et,两边取以e为底数的对数,即ln t<t-1.

由(1)知当a=1时,f(x)=ln x-x的最大值为-1,此时x=1,所以当t∈(1,+∞)时,ln t-t<-1,

即得ln t<t-1,所以原不等式成立.

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